特征值与特征向量

定义

\[A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\]

• \(\lambda\)：特征值
• \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)：特征向量

特征多项式

\[p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\]

根 = 特征值（包括复数）。

对角化

\[A = PDP^{-1}\]

• \(D\)：特征值对角矩阵
• \(P\)：特征向量矩阵

条件： \(n\) 个线性无关特征向量。

谱定理

\[A = Q\Lambda Q^T\]

• \(Q\)：正交特征向量矩阵
• \(\Lambda\)：特征值对角矩阵

Cayley-Hamilton

\[p_A(A) = 0\]

矩阵满足其特征多项式。

最小多项式

次数最小的单多项式 \(m(\lambda)\) 满足 \(m(A)=0\)。

整除特征多项式，根相同。