测度论

定义

设 \(X\) 上的测度 \(\mu\) 是函数 \(\mu: \Sigma \to [0,\infty]\)，其中 \(\Sigma\) 是 \(\sigma\)-代数，满足： - \(\mu(\emptyset) = 0\) - 可数可加性：\(\mu(\bigcup_i E_i) = \sum_i \mu(E_i)\)，其中 \(E_i\) 两两不相交

Lebesgue 测度

在 \(\mathbb{R}^n\) 上，Lebesgue 测度 \(\lambda\) 满足： - 平移不变性：\(\lambda(E + x) = \lambda(E)\) - 可数可加性 - \(\lambda([0,1]^n) = 1\)

可测函数

\(f: X \to \overline{\mathbb{R}}\) 是可测的，若 \(f^{-1}((a,\infty]) \in \Sigma\) 对所有 \(a \in \mathbb{R}\) 成立。

积分

\[\int_X f \, d\mu = \int_0^\infty \mu(\{x: f(x) > t\}) \, dt\]

单调收敛定理（MCT）

若 \(0 \leq f_n \uparrow f\) 逐点成立，则： \[\lim \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu\]

控制收敛定理（DCT）

若 \(f_n \to f\) 几乎处处且 \(|f_n| \leq g\)，其中 \(g \in L^1\)，则： \[\lim \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu\]

\(L^p\) 空间

\[\|f\|_p = \left(\int |f|^p \, d\mu\right)^{1/p}, \quad 1 \leq p < \infty\]

• Hölder 不等式：\(\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q\)，其中 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)
• Minkowski 不等式：\(\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p\)

乘积测度

\((X \times Y, \Sigma \otimes \tau, \mu \times \nu)\)，满足： \[(\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A)\nu(B)\]

Fubini 定理：\(\int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_X \int_Y f \, d\nu \, d\mu\)