张量

定义

张量是多线性映射： \[T: V^* \times \cdots \times V^* \times V \times \cdots \times V \to \mathbb{R}\]

• \((p,q)\) 张量：\(p\) 个逆变指标，\(q\) 个协变指标
• 秩：\(p + q\)

张量积

\[(T \otimes S)_{i_1 \ldots i_p j_1 \ldots j_q}^{k_1 \ldots k_r} = T_{i_1 \ldots i_p}^{k_1 \ldots k_r} S_{j_1 \ldots j_q}^{k_{r+1} \ldots k_{r+s}}\]

缩并

用度规 \(g_{\mu\nu}\) 升降指标： \[T^\mu_{\ \nu} = g^{\mu\alpha} T_{\alpha\nu}\]

重复指标求和（爱因斯坦约定）。

分量

\[T^{i_1 \ldots i_p}_{j_1 \ldots j_q}\]

变换律： \[T'^{i_1 \ldots i_p}_{j_1 \ldots j_q} = \frac{\partial x'^{i_1}}{\partial x^{k_1}} \cdots \frac{\partial x^{l_q}}{\partial x'^{j_q}} T^{k_1 \ldots k_p}_{l_1 \ldots l_q}\]

对称性

• 对称：\(T_{ij} = T_{ji}\)
• 反对称：\(T_{ij} = -T_{ji}\)
• 反对称张量：\(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)（列维- Civita）